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Recently, we discussed the proofs of the Pythagorean theorem by using trigonometric ratios and submitted our paper to the international mathematical journal(refereed), Parabola. Fortunately, our paper was accepted into the journal and will appear on the journal website.

https://www.parabola.unsw.edu.au/issues/2020-present/year-2025-volume-61

One of our members, Kise, is a junior high school student, and one of ours, Uehara, is a high school student. They are good at math and are gifted. They have a deep and sharp insight into anything. I am happy to study with young mathematicians.

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2025年12月、沖縄の学習塾 沖縄数学アカデミー に所属する中高生2名と同塾代表が共同で執筆した数学研究論文が、オーストラリアの大学が発行する数学誌 Parabola の2025年12月号に掲載される ことが複数社の新聞で報じられました（沖縄タイムズ、琉球新報）。その内容は、数千年にわたり証明が困難視されてきた「三角比を用いたピタゴラスの定理の非循環的証明」 への取り組みです。この記事は学術的な意味だけでなく、数学教育・探究学習のあり方全般に大きな示唆をもたらしています。 沖縄タイムス＋プラス+1

本稿では以下の流れでこの出来事を深掘りします：

1. ピタゴラスの定理とその「三角比証明」の歴史的背景

2. arXiv論文 2506.06304 の内容概説

3. 論文誌 Parabola の性格と掲載の意義

4. 中高生が数学研究論文を書くという体験の本質

5. 数学教育・学習文化へのインパクト

6. グローバルな数学コミュニティとの接点形成

7. 地域社会と教育現場への波及効果

8. まとめと今後の展望

「直角三角形の斜辺の二乗は他の2辺の二乗の和に等しい」というピタゴラスの定理は、ユークリッド幾何学の代表例として世界中で教えられる基本定理です。古代から数多くの証明が発見されており、数百を超える多様な証明が知られるとされるほど、数学史的に豊かな対象です。

典型的な証明には次のような種類があります：

• 幾何学的配置（正方形や類似三角形）を利用する方法

• ベクトル・内積を用いる方法

• 代数的操作による方法

• 誘導や数学的帰納法を用いる方法

これらはいずれも、証明として数学的に完結している とされます。

一方、直角三角形における三角比（sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin, \cos, \tansin,cos,tan）を使ってピタゴラスの定理を証明することは、長らく「不可能に近い」と考えられてきました。 これは、三角比の定義においてしばしば直角三角形の辺の比や、すでにピタゴラスの定理と同等の恒等式（例えば sin^2θ+cos^2θ=1）が含まれてしまうためです。このような定義をそのまま証明過程で用いると、「定理の結論を前提として使ってしまっている」循環論法となってしまいます。

つまり、三角比を用いた独立した証明を構築するには、循環性を避けるための工夫が必要 です。仮に三角比を定義として使ってしまうと、証明はすでに結論に依存するものになってしまいます。 arXiv

2023年にはアメリカの高校生が、三角比の倍角公式と「無限等比級数の和の公式」を併用することで三角比証明に挑み、数学界に衝撃を与えた例が報じられています。これは、三角比と無限等比級数という分析的な道具を巧妙に組み合わせることで循環性を回避 したものです。 沖縄タイムス＋プラス

この事例は、教育現場でも注目を集め、「高校生でも新しい証明を見出せる」という象徴的なできごととして広く伝えられました。

沖縄の中高生たちの研究は、当該論文として arXivプリント（2506.06304） に公開されているのちに Parabola に掲載される運びとなりました。まず、その 内容と数学的工夫 を整理します。

論文タイトルは “Trigonometric Ratios Can Prove the Pythagorean Theorem”（三角比がピタゴラスの定理を証明できる）であり、次の点が要旨です：

• ピタゴラスの定理を三角比のアイデンティティから導く複数の方法 を提示している。

• 特に タンジェントの倍角公式や角平分線定理 を中心に据えることで、循環性を避ける非循環的な証明 を実現している。

• 従来の証明が暗黙に用いる sin^2θ+cos^2θ=1 のような形を避け、三角比の基本的性質の組合わせだけで構築している。 arXiv

論文は大きく3つのアプローチから証明を展開しています：

1. 等脚三角形とタンジェント倍角公式を用いた証明

   • 等脚三角形を構成し、角 2θを設定して辺の比を扱う。

   • タンジェントの倍角公式 tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}tan(2θ)=1−tan2θ2tanθ​ を用いることで、tan⁡θ\tan\thetatanθ の表現を直角三角形の辺比から導出し、ピタゴラスの定理を導きます。

   • この方法は、sin⁡,cos の平方和を証明に使わない非循環性 を保ちながら、三角比の恒等式の構造のみで結論に至ります。 arXiv

2. 角平分線定理を併用した証明

   • 任意の直角三角形の角平分線を考え、そこから相似三角形の関係を引き出します。

   • その後、三角比の比としての性質を細かく用いることでピタゴラスの等式へ帰着させます。

   • このアプローチは、幾何学と三角比の融合的な証明として発展させられています。 arXiv

3. 新たな三角関係の導出を介した統一的手法

   • 上記の証明の延長線上で、三角比の性質から新しい恒等関係を見つけ、それを使って別の道筋を用意しています。

   • この過程は、数学的構造の内側から証明の有効性を補強する位置づけです。 arXiv

通常、三角比の性質（特にsin2^θ+cos^2θ=1）は、ピタゴラスの定理と同値である ことが知られています。そのため、これを証明の前提として使うと循環論法になってしまいます。

本研究は、三角比の定義を辺の比や角平分線定理から導かれる比較関係として扱い、sin^2θ+cos^2θ=1 を結論として導く構造とした点で特筆されます。 これは数学的に明示的な独立性を確保する試みといえます。 arXiv

数学誌 Parabola は、オーストラリア ニューサウスウェールズ大学（UNSW Sydney） が発行する 教育・一般向け数学雑誌 です。専門的な証明や論考だけでなく、読者が楽しめる数学的洞察を広く紹介する媒体でもあります。 Parabola は欧米圏で教育者や学生にも読まれる重要な誌面であり、研究成果が専門誌の誌面に掲載されることは数学教育界で高く評価されます。

中高生の論文が掲載されるという事例は、学術誌としても異例かつ注目される成果であり、編集者・査読者が認めた「数学としての独自性と読者価値」を持つものと判断された例 といえます。

中高生が専門誌に掲載される論文を書くということは、単なる「学習成果」や「宿題」の範囲を超えます。これには以下のような要素が含まれています：

一般的な中高生の数学教育は、定理や公式を学び、演習問題を解く形式が中心です。一方で研究論文の執筆では：

• 文献調査

• 先行研究の理解

• 仮説設定

• 証明構築

• 論理的整合性のチェック

• 他者への説明可能性の確保

といった高度なプロセスが要求されます。

この体験は、数学のみならず科学全般の研究プロセスへの理解を促す教育的な意味を持ちます。

研究は必ずしも「正解が決まっている問題」の解答ではありません。今回のケースでも、先行研究や一般的な証明体系に依存しない 独自のアプローチ工夫 が不可欠でした。

このような創造性は、知識習得型の学習では育ちにくい思考能力の発露です。この点で、論文執筆は単なる暗記ではなく、数学的探究の核心に迫る学習体験 になります。

論文は単に「解を示す」だけでなく、他者（査読者・読者）が理解可能な形式で提示する必要があります。この過程で、中高生は数学的コミュニケーション能力、すなわち論理構築・説明文書作成・証明の明確化といったスキルを育成しました。

この出来事は、数学教育界に対して次のような 示唆・インパクト を与えます。

通常の授業や定期試験向け学習では対応しきれない「本質的な数学的問い」が、外部学習機会によって生まれる可能性が実証されました。特に、塾やクラブ活動が探索的学習の場となる意義 が改めて確認されます。

学校教育でも「研究的数学学習」「プロジェクト型学習」の導入を進める動きがありますが、今回の事例はその 有効性と成果可能性の明確なケーススタディ といえます。

中高生が 国際誌に掲載されること自体が国際的な承認プロセスを経験すること でもあります。査読や公開というプロセスに参加することで、単なる国内事象ではなく、数学的コミュニティの一員としての体験価値が生まれます。

これは、今後の国際数学オリンピック、学会参加、国際プロジェクトへの橋渡しにもつながる可能性があります。

沖縄県内の教育現場や地域社会にとって、今回の成果は 「自分たちにも可能性がある」 という強力なメッセージとなります。県内の数学教育関係者、学校現場、保護者、地域企業などの間で探究的学習への関心が高まることは必至です。

本稿のポイントを整理すると次の通りです：

1. 数学理論の核心に挑む論文が、中高生によって書かれ、国際誌に掲載されたという異例の成果が生まれた。 沖縄タイムス＋プラス+1

2. その数学的内容は従来困難と考えられた三角比による非循環的証明の実現であり、教育史的にも意味を持つ。 arXiv

3. 学術誌 Parabola に掲載される価値ある研究として認められ、教育界・数学界両面にインパクトを与える。

4. 中高生が研究論文を書くこと自体が、数学教育の枠組みを越えた探究学習のモデルケースとなる。

今後の課題と展望としては：

• 他の学校・地域でも研究型数学学習が広がること

• 教材として今回の研究成果を学習カリキュラム化する取り組み

• 国際共同研究や国際学会への参加・発信強化の仕組みづくり

などが挙げられます。

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